Por Adrián Paenza
Los dos tratan de evitarse, pero hay momentos en los que no pueden, ya sea porque están en una misma cancha (el Camp Nou en Barcelona o el Santiago Bernabeu en Madrid) o porque son candidatos a recibir el trofeo anual que se otorga al “Mejor Jugador del Mundo”. Pero más allá de circunstancias de este tipo, han coincidido muy poco geográfica y temporalmente.
Sin embargo, hace unos días, se encontraron. Y allí se produjo la siguiente situación que no ha tenido la trascendencia que merecía.
A cada uno le dieron un juego de cinco cartas numeradas del 1 al 5. Les vendaron los ojos y les pidieron que seleccionaran una cualquiera de las cinco que tenían en la mano y las pusieran arriba de una mesa.
La persona que estaba con ellos hizo la suma de los dos números y se la comunicó únicamente a Messi. Después, multiplicó los números y le dijo el resultado solamente a Ronaldo.
El señor guardó las dos cartas en un bolsillo evitando que los jugadores las pudieran ver y les pidió también que le entregaran las cuatro que le quedaban a cada uno y las escondió en un cajón.
Allí fue donde se produjo el siguiente diálogo:
Ronaldo: “Con el número que escuché yo, no puedo saber cuáles son las dos cartas.”
Messi: “Ah… ¡Qué curioso! Si vos no podés deducirlos, entonces yo sí sé cuáles fueron los dos números de las cartas que elegimos.”
Ronaldo: “Vos sabrás… pero yo sigo sin saber cuáles son.”
Messi: “Dejame que te ayude: el número que me dijeron a mí es mayor que el que te dijeron a vos.”
Ronaldo: “Gracias. Ahora yo también sé cuáles fueron los números.”
Pregunta: ¿Qué números eligieron? Fíjese que no le pido que diga qué carta eligió cada uno, sino que solo importa saber qué números aparecieron arriba de la mesa.
Ahora le toca a usted.
Le propongo que siga mi argumento, pero en realidad, a medida que va leyendo, si detecta un posible camino, abandone la lectura y siga usted por su cuenta. Ya verá por qué escribo estas líneas.
Tanto Messi como Ronaldo tuvieron que elegir un número entre 1 y 5. Quiero escribir cuáles pudieron haber sido las posibles sumas y los posibles productos de los dos números.
Primero, analicemos las posibles sumas. ¿Qué números pudo haber escuchado Messi? Debió ser uno de estos números:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10
¿Por qué? Por ejemplo, ¿por qué no pudo haber escuchado el número 1? Es que como cada uno tuvo que haber aportado un número estrictamente positivo a la suma y el más chico que tenían era justamente uno, la suma de los dos no puede ser más chica que 2. Con el mismo argumento es fácil convencerse que el máximo número que pudo haber escuchado Messi es 10, ya que los dos más grandes que tenía cada uno era 5.
Los demás números posibles (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) son combinaciones que me imagino que usted puede deducir por su lado.
Ahora, acompáñeme con los posibles productos. Fíjese si está de acuerdo conmigo.
Los números 1, 2, 3, 4 y 5 se pueden obtener fácilmente. El 6 aparece como producto de 2 y 3. Pero acá, quiero para un instante y preguntarle: ¿se puede obtener el 7?
La respuesta es que no, no se puede. Sin embargo, sí hay formas de obtener 8, 9, 10… ¿Y el 11? ¿Se puede? No… tampoco. ¿Y el 12? Sí: 3 x 4.
Sigo: no se pueden obtener ni el 13, ni el 14, pero sí el 15 (3×5), 16 (4×4)… y no se pueden 17, 18, 19, pero uno puede obtener 20 al multiplicar 4 x 5. ¿Cuál sigue? (¿no quiere pensar usted por su lado?). El último, el único que falta es el 25, ya que 25 = 5 x 5, o sea, si los dos eligieron el número más grande que tenían en las cartas.
En resumen, los posibles productos son:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 20 y 25.
¿Cómo seguir ahora? Piense que Ronaldo empezó el diálogo diciendo que él no podía saber. ¿Qué tuvo que haber pasado para que él no pudiera deducir los números?
Fíjese que si Ronaldo hubiera escuchado (por ejemplo) el número 1, él sabría instantáneamente que los dos habían elegido el 1. O si hubiera escuchado el 20, sabría que los números fueron 4 y 5. Pero dijo que no, que no podía saber. ¿Qué tuvo que haber pasado entonces? El portugués tuvo que haber escuchado algún número que se pueda obtener de varias formas, algo que no sucede ni con el 1 ni con el 20.
¿Cuáles son esos números? Vayamos analizando uno por uno.
1 = 1 x 1
2 = 1 x 2
3 = 1 x 3
4 = 2 x 2…. y 1 x 4.
Y acá me quiero detener un momento. Si Ronaldo hubiera escuchado 1, 2 o 3, él sabría qué números había arriba de la mesa. Sin embargo, si escuchó 4, entonces no podría saber porque podrían ser (2 y 2) o (1 y 4).
Sigamos.
5 = 1 x 5
6 = 2 x 3
8 = 2 x 4
9 = 3 x 3
10 = 2 x 5
12 = 3 x 4
15 = 3 x 5
16 = 4 x 4… y
25 = 5 x 5.
Es decir, el ¡único número que pudo haber escuchado Ronaldo fue el 4! Con cualquier otro, hubiera podido deducir cuáles fueron los que aparecían arriba de la mesa. ¿Qué pasó después?
Cuando Ronaldo dijo que él no podía saber, le dio la indicación a Messi que Ronaldo ¡tuvo que haber escuchado 4! En ese instante, Messi supo que los números que pudieron haber salido eran (2 y 2) o (1 y 4).
Pero me imagino que usted debe estar pensando: ¡todavía no usamos el dato que le dieron a Messi! Cuando él dice en su primera observación: “Ah, si vos no sabés entonces yo sí sé”, es porque él no solo dedujo que Ronaldo escuchó 4, sino que con el número que escuchó (Messi), él podía decidir lo que Ronaldo no podía. Si él había escuchado 4, es porque los dos habían elegido un 2, pero si él escuchó 5, es porque los números tuvieron que haber sido (1 y 4).
En cualquiera de los dos casos Messi puede deducir cuáles fueron los números.
Hasta acá, se entiende perfectamente por qué Messi dijo que él podía deducir cuáles eran los dos números. Como Ronaldo dice que él todavía no sabe, Messi le ofrece su ayuda y le dice: “mirá, el número que escuché yo es mayor que el que escuchaste vos”. Como Ronaldo sabe que Messi sólo pudo haber escuchado o 4 o 5, y Messi le dice que el número de él es más grande, eso termina por definir la situación y le indica a Ronaldo que los números fueron 1 y 4, y por eso Messi escuchó un número mayor que él.
Es decir, en ese momento, los dos saben lo que pasó: uno de los dos eligió el 1 y el otro, el 4. No sabemos cuál aportó cada uno, pero sí que los números tuvieron que haber sido esos dos.
Listo. El problema concluye acá. En realidad, me interesa hacer una última observación, que me imagino que no se le escapa pero igualmente quiero escribirla. El diálogo que figura en este texto es ficticio: es un invento mío. Al menos, hasta donde yo sé. Pero lo más importante es que el problema no solo no es ficticio sino que fue incluido en un examen para niñas/niños menores de 11 años en una prueba de calificación que se hizo en Singapur. Pero de ese tema prefiero ocuparme en otro momento.
A partir de ahora, termina la cadena nacional. Cada una de las emisoras continúan con sus respectivos programas. Continuará….
